Tuunan Kaidah Rantai

Minggu, 08 Mei 20110 komentar

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumusuntuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan uterhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

Baca Selengkapnya....

$\frac {dy}{dx} = \frac {dy} {du} \cdot\frac {du}{dx}$

Bukti

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x)masing-masing terdiferensiasi di titik u = u₀ dan x = x₀. Maka y merupakan fungsi komposit dari x $(y = (f \circ g)(x))$ . Turunan y terhadap x di titik x₀ dinyatakan sebagai

$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(g(x_0+\Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}}$

Misalkan

Δ u = g (x 0 + Δ x) - g (x 0)

, dan

u 0 = g (x 0)

. Untuk $x \rightarrow 0$ maka $u \rightarrow 0$ . Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)$

$=\left[\lim_{\Delta u \to 0}\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u}\right] \left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}\right]$

$= \frac{dy}{du}|_{u=u_0} \cdot \frac{du}{dx}|_{x=x_0}$ .

Share this article :