Teory Bilangan

Secara tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.
Baca Selengkapnya...
 

Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritma Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentangbilangan sempurna dan kongruensi dipelajari di sini.

Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Juga teorema sisa Tiongkok dan hukum keresiprokalan kuadrat. Sifat dari fungsi multiplikatif seperti fungsi Möbiusdan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial danbilangan Fibonacci.

Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z(atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Ztidak tertutup di bawah pembagian.

Tabel sifat-sifat operasi bilangan bulat

	Penambahan	Perkalian
closure:	a + b   adalah bilangan bulat	a × b   adalah bilangan bulat
Asosiativitas:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
Komutativitas:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
Eksistensi unsur identitas:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
Eksistensi unsur invers:	a + (−a)  =  0
Distribusivitas:	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol:		jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Dalam Pascal

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam bahasa pemrogramanPascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16 bit),karena integer adalah type data signed maka hanya mampu di-assign nilai antara -2¹⁵ hingga 2¹⁵-1 yaitu -32768 sampai 32767. Ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET dan Borland Delphi memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

Faktor Persekutuan Terbesar

Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulatpositif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.

Dalam bahasa Inggris FPB dikenal dengan Greatest Common Divisor (GCD), sering djiuga disebut sebagai Greatest Common Factor (GCF) atau Highest Common Factor (HCF), 

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara sederhana

Mencari FPB dari 12 dan 20:

• Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
• Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
• FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Cara faktorial

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

• Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

147         189             231
/\          /\              /\
3 49        3  63           3  77
/\           /\              /\
1
                              /\
             
7  7         7  9            7  
1                3  3

• Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:

Faktorial 147 = 3¹ x 7²

Faktorial 189 = 3³ x 7¹

Faktorial 231 = 3¹ x 7¹ x 11¹

• Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.

• Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 3¹ x 7¹ = 21.

• Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.

Algoritma Euklidean

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritma Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritma Euklidean adalah sebagai berikut:

• a₁ = maximum(a,b)-minimum(a,b)

b₁ = minimum(a,b)

• a₂ = maximum(a₁,b₁)-minimum(a₁,b₁)

b₂ = minimum(a₁,b₁)

.

.

.

• a_i = maximum(a_i-1,b_i-1)-minimum(a_i-1,b_i-1)

b_i = minimum(a_i-1,b_i-1)

Algoritma tersebut berhenti hingga diperoleh a_i = b_i

FPB dari a dan b adalah a_i = b_i

_{Bilangan Prima}

Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktorpembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.

Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebutbilangan komposit. Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes

Bilangan Prima Terbesar

Secara matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga.^[1] Bilangan prima terbesar yang diketahui per Agustus 2007 adalah 2^32.582.657 − 1.^[2] Bilangan ini mempunyai 9.808.358 digit [1] dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-44. M_32582657 (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-44) ditemukan oleh Curtis Cooper dan Steven Boone pada 4 September 2006 yang merupakan profesor-profesor dariUniversity of Central Missouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS.

Bilangan Sempurna

Dalam matematika, bilangan sempurna adalah bilangan bulat yang juga merupakan jumlah daripembagi positifnya, tidak termasuk bilangan itu sendiri.

Oleh karena itu, 6 adalah bilangan sempurna, karena 1, 2, dan 3 adalah pembagi dari 6, dan 1 + 2 + 3 = 6. Bilangan sempurna berikutnya adalah 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Diikuti dengan 496, dan 8128. Hanya empat bilangan sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zamanYunani Kuno.